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Ângulo inscrito

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Em geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.

Tipicamente, é mais fácil pensar em um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.

As propriedades básicas dos ângulos inscritos são discutidas nas proposições 20-22 do livro 4 dos Elementos de Euclides. Essas proposições garantem que o ângulo inscrito tem a metade da medida do ângulo central correspondente, que ângulos inscritos em um mesmo arco de uma corda são iguais e que a soma dos dois ângulos inscritos distintos correspondentes a uma determinada corda é 180°.

Medida do ângulo inscrito

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Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente.

Assim, seja o ângulo inscrito de medida e o ângulo central correspondente de medida

Têm-se:

ou

[1]

Demonstração

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Para demonstrar essa propriedade é preciso considerar 3 casos:

  1. está num lado do ângulo.
  2. é interno ao ângulo.
  3. é externo ao ângulo.

Têm-se que pois ambos são raios da circunferência.

Assim tem-se que é isósceles, o que implica e

Ainda no triângulo tem-se como sendo um ângulo externo. Logo, pelo teorema do ângulo externo, tem-se:

Logo, e, como vem

Tomando um ponto sendo a intersecção de com a circunferência e, sendo:

e

Analisando esse ângulos, pode-se observar que é ângulo inscrito de arco correspondente e que é ângulo inscrito de arco correspondente

Assim é possível relacionar esses dois ângulos, conforme foi demonstrado no 1° caso.

Logo, e, como vem

Tomando um ponto de intersecção de com a circunferência e, sendo:

e

Com isso, tem-se, seguindo o que foi demonstrado no primeiro caso:

Visto que e tem-se:

Logo, e, como vem

Logo, um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente.

Referências

  1. Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: Geometria plana. São Paulo: Atual 

Ligações externas

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